Varianz und Standardabweichung stammen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und geben an, wie stark mögliche Ergebnisse vom Erwartungswert abweichen. In der Mathematik wird von Streuung gesprochen.
Dieser Artikel ist Teil unserer Reihe zur Mathematik in Casinospielen und richtet sich an jeden, der Interesse am Thema hat, jedoch keine Lust, mathematische Definitionen zu lesen. Aus diesem Grund sind die Beispiele einfach gehalten.
Der Würfel als visuelles Beispiel
Ein Spielwürfel mit sechs Seiten zeigt entweder 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 Punkte. Der durchschnittliche Wert beziehungsweise der Erwartungswert ist 3,5. Nimmt man nun einen Spielwürfel mit 20 Seiten, liegt der Erwartungswert bei 10,5.
Wird mit dem ersten Würfel gespielt, liegen die Ergebnisse sehr nah am Erwartungswert, beim zweiten Würfel weichen die Ergebnisse jedoch deutlicher ab. Ähnlich verhält es sich mit der Varianz bei Poker oder Sportwetten.
Je höher die Varianz ist, umso mehr weichen die jeweiligen Ergebnisse vom Erwartungswert ab.
So wird die Varianz errechnet
Die Varianz ist die durchschnittlich quadrierte Abweichung vom Mittel- oder Erwartungswert. Dies klingt ein wenig kompliziert, lässt sich jedoch recht einfach durch ein Beispiel erklären.
Nehmen wir an, wir besitzen eine Fabrik für Nägel. Eines unserer Produkte ist der Dachpappennagel mit extra breitem Kopf. Aufgrund der enormen Nachfrage gibt es auch ein Großpaket mit 1.500 Stück. Der Abfüllautomat ist jedoch nicht genau. Wir sehen uns in einer Stichprobe 25 Pakete an.
Die Auswertung der Stichproben ergab: 1501, 1494, 1502, 1496, 1487, 1499, 1508, 1512, 1505, 1509, 1515, 1497, 1500, 1516, 1498, 1511, 1510, 1514, 1488, 1493, 1504, 1503, 1506, 1492 und 1513 Nägel.
Nun wird jeweils die Differenz zum Mittelwert (1.500) gebildet: +1, -6, +2, -4, -13, -1, +8, +12, +5, +9, +15, -3, 0, +16, -2, +11, +10, +14, -12, -7, +4, +3, +6, -8 und +13.
Danach wird jede dieser Zahlen quadriert: 1, 36, 4, 16, 169, 1, 64, 144, 25, 81, 225, 9, 0, 256, 4, 121, 100, 196, 144, 49, 16, 9, 36, 64 und 169.
Zum Abschluss wird der Durchschnitt berechnet. Alle „quadrierten Abweichungen“ aufsummiert ergeben 1.971. Teilt man durch 25*, ergibt sich ungefähr 78,84.
Die Varianz ist somit 78,84.
Hinweis [Wer es ganz genau wissen möchte]: In der Formel für Varianz wird manchmal durch n, manchmal durch (n-1) geteilt. Da ob eine Stichprobe genommen wurde, hätten wir eigentlich durch 24 teilen sollen.
Warum das so ist, hängt mit den Freiheitsgraden und dem Unterschied zwischen der Varianz einer Grundgesamtheit und der geschätzten Varianz zusammen. Für das Beispiel ist es hier allerdings nicht wichtig, also haben wir uns an die gängige Formel gehalten.
Der Zusammenhang zwischen Standardabweichung und Varianz
Um die Standardabweichung zu erhalten, muss einfach nur die Quadratwurzel der Varianz gezogen werden. Die Wurzel aus 78,84 ist ungefähr 8,89.
Die Standardabweichung ist somit +/- 8,89.
Die 68-95-99,7-Regel und die Standardabweichung
Die Standardabweichung ist weit mehr als nur eine Messzahl. Mithilfe von Konfidenzintervallen kann bestimmt werden, wie viele Nägel sich in der nächsten Packung befinden.
- Mit 68 % Wahrscheinlichkeit sind es 1.491 bis 1.509 Nägel.
- Mit 95 % Wahrscheinlichkeit sind es 1.482 bis 1.518 Nägel.
- Mit 99,7 % Wahrscheinlichkeit sind es 1.473 bis 1.527 Nägel.
Für das erste Konfidenzintervall wurde eine Standardabweichung (8,89, auf 9 gerundet), für das zweite Konfidenzintervall wurden zwei Standardabweichungen (17,78, auf 18 gerundet) und für das dritte Konfidenzintervall wurden drei Standardabweichungen (26,67, auf 27 gerundet) verwendet.
Spannend ist, dass es kein Konfidenzintervall mit 100 % gibt. Es kann also keine Aussage mit absoluter Sicherheit getroffen werden.
Wer sich schon ein wenig mit Stochastik beschäftigt hat, hat sicherlich bemerkt, dass es sich um eine Normalverteilung handelt. Die Streuung um den Mittelwert sieht also aus wie die Gaußsche Glockenkurve.
Varianz und Poker
Varianz ist ein zentraler Begriff in der Poker-Community. Wer ein Tracking-Programm nutzt, um seine gespielten Hände zu analysieren, bekommt die Standardabweichung (Englisch: Standard Deviation; SD) oft angezeigt.
Es ist nicht wichtig, den genauen Wert zu kennen. Hilfreicher ist es, die Varianz zu verstehen. Diese kann je nach Format sehr unterschiedlich sein. Faktoren sind unter anderem die Pokervariante, die Anzahl der Gegner sowie die Stärke und Aggressivität der gegnerischen Spieler.
So hat beispielsweise Heads-Up Pot-Limit Omaha gegen einen starken Gegner eine extrem hohe Varianz, während Full Ring Limit Hold’em mit durchschaubaren Spielern eine vergleichsweise geringe Varianz aufweist.
Die Varianz macht sich direkt in Up- und Downswings bemerkbar. Je höher die Varianz, umso breiter sind die Ergebnisse um den Erwartungswert gestreut. Auf die Folgen der Varianz gehen wir näher im Artikel über Bankroll-Management ein.
Standardabweichung bei Sportwetten
Die Varianz bei Sportwetten hängt auf den ersten Blick direkt mit den Wettquoten zusammen. Nehmen wir an, wir haben drei Value Bets gefunden, die wir jeweils mit 100 Units anspielen.
- Wette 1: @1,10 (99,99 % Gewinnwahrscheinlichkeit) – SD 0,90 Units
- Wette 2: @2,00 (55 % Gewinnwahrscheinlichkeit) – SD 90 Units
- Wette 3: @20 (5,5 % Gewinnwahrscheinlichkeit) – SD 451,80 Units
Der Erwartungswert bei jeder der drei Wetten ist 10 Units*, doch die Standardabweichung (SD) unterscheidet sich deutlich. Dieser Vergleich ist allerdings nicht wirklich fair, denn solch unterschiedliche Wetten würden von professionellen Wett-Profis unterschiedlich angespielt werden.
Passt man die Einsätze an, sodass der Gewinn (Auszahlung minus Wette) bei allen drei Wetten gleich ist, ergeben sich folgende Standardabweichungen:
- Wette 1: 200 @1,10 – SD 1,80 Units
- Wette 2: 20 @2,00 – SD 18 Units
- Wette 3: 1,05 @20 – SD 4,74 Units
Während die Erwartungswerte bei allen drei Wetten unterschiedlich sind, ist der Vorteil (Edge) von 10 % gleich geblieben.
Spannend ist sicherlich, dass sowohl die Favoriten- als auch die Außenseiterwette eine ähnlich hohe Varianz haben. Das Thema wird in unserem Artikel über Money-Management bei Sportwetten genauer diskutiert.