Der Erwartungswert ist nicht nur in der Stochastik wichtig. Mit dieser grundlegenden Mathematik können auch Glücksspiele im Casino, bei Sportwetten, in der Lotterie und beim Poker besser verstanden werden.
Hinweis: Es wird viel Mathematik in diesem Artikel vorkommen, doch alles wird mit einfachen Beispielen auf verständliche Weise erklärt. Jeder, der mit Mathe nichts am Hut hat, kann ohne Probleme direkt zu den Beispielen springen.
Expected Value – Erwartungswert definiert
Da wir uns für den Erwartungswert im Glücksspiel interessieren, müssen wir keine komplizierten Erklärungen verwenden, sondern können uns einer einfachen Sprache bedienen.
Der Erwartungswert (EW) zeigt, was bei einem einzelnen Spiel durchschnittlich gewonnen oder verloren wird. Oder anders ausgedrückt: welchen Wert ich im Schnitt zurückbekomme.
Erwartungswert = (Möglicher Gewinn * Siegchance) – (Einsatz * Verlustrisiko)
Hinweis: Oftmals wird der Erwartungswert als EV angegeben. Dies leitet sich aus dem englischen Begriff Expected Value ab.
Bevor wir uns den Beispielen widmen, muss kurz das Gesetz der großen Zahlen erklärt werden.
Das Haus gewinnt immer
Diesen Leitsatz hat sicherlich schon jeder gehört. Er beschreibt, dass Casinos und Buchmacher immer einen Gewinn machen – zumindest langfristig.
Fakt ist: Jeder kann das nötige Quäntchen Glück haben und nach einem erfolgreichen Abend mit einem großen Gewinn nach Hause gehen. Dies liegt an der sogenannten Varianz, und genau darin liegt der Reiz des Glücksspiels.
Wer jedoch glaubt, langfristig das Haus zu schlagen, irrt. Dies liegt am Gesetz der großen Zahlen. Im Prinzip bedeutet es nichts anderes, als dass es kurzfristig zu Überraschungen kommen kann. Überraschung bedeutet in diesem Fall, dass das Ergebnis nicht exakt dem Erwartungswert entspricht.
Erwartungswert – Beispiel
Um den Erwartungswert im Glücksspiel zu verdeutlichen, ist der Münzwurf ein perfektes Beispiel. Wir gehen davon aus, dass die Münze fair ist, also Kopf und Zahl jeweils eine Chance von 50 % haben. In der Mathematik wird in diesem Fall mit 0,5 multipliziert.
Als Einsatz verwenden wir 1 Euro. Die Auszahlung im Falle eines richtigen Tipps beträgt 2 Euro, was einem Gewinn von 1 Euro entspricht. Mit der oben genannten Formel erhalten wir:
Erwartungswert = (1€ * 0,5) – (1€ * 0,5) = 0,5€ – 0,5€ = 0€
Wir haben also einen Erwartungswert von 0 Euro.
Wie oben bereits angemerkt, ist dies nur ein theoretischer Wert, denn nach einem einzelnen Spiel gibt es entweder einen Gewinn von 1€ oder einen Verlust von 1€. Auch nach zehn, hundert oder noch mehr Spielen wird der komplette Gewinn nicht immer bei Null stehen.
Welchen Zweck hat der Erwartungswert überhaupt?
Das obige Beispiel war ein Spiel mit fairer Auszahlung. Wenn keine der beteiligten Parteien einen Vorteil hat, ist der Erwartungswert neutral. Dementsprechend kann mit dem EW auch nichts angefangen werden.
Generell hilft der Erwartungswert jedoch, ein besseres Verständnis für Glücksspiel zu entwickeln. Unter anderem erklärt der EW, warum Gewinnsysteme für Casinospiele wie beispielsweise das Martingale-System nicht funktionieren oder warum Kombiwetten für Buchmacher besonders lukrativ sind.
Positiver Erwartungswert – mit Beispiel
Um zu zeigen, warum der Erwartungswert spannend sein kann, nehmen wir ein Beispiel, in dem der Spieler einen Vorteil hat. Um es so einfach wie möglich zu halten, bleiben wir beim Münzwurf.
Die Münze ist immer noch fair. Allerdings hat unser fiktiver Spieler so lange geübt, dass er es schafft, in 52 % aller Fälle Kopf zu werfen. Der Einsatz pro Wurf beträgt 1€, im Falle von Kopf gibt es 2€ zurück, was einem Gewinn von 1€ entspricht.
Erwartungswert = (1€ * 0,52) – (1€ * 0,48) = 0,52€ – 0,48€ = 0,04€
Unser Spieler hat also einen positiven Erwartungswert von 4 Cent. Würde der Spieler also 1.000-mal werfen, könnte er einen Gewinn von insgesamt 40€ (1.000 * 0,04€) erwarten.
Da es jedoch Varianz gibt und der Spieler je nach verfügbarem Budget auch ein bestimmtes Verlustrisiko hat, gibt es keine Garantie, dass er nach 1.000 Spielen exakt diesen Gewinn erzielt.
Negativer Erwartungswert – mit Beispiel
Casinospiele sind so ausgelegt, dass es einen Hausvorteil gibt. Diesen brauchen Casinos, um langfristig Gewinne zu machen.
Um bei unserem Beispiel mit dem Münzwurf zu bleiben: Ein Casino stellt unseren begnadeten Spieler als Croupier ein. Nach weiteren Trainingsstunden wirft dieser nun sogar in 55 % aller Fälle Kopf.
Das Casino bietet folgendes Spiel an: Eine Wette auf Zahl kostet 10€ und zahlt 21€ aus (Gewinn: 11€).
Sehen wir uns den EW aus der Sicht des Spielers an: Erwartungswert = (11€ * 0,45) – (10€ * 0,55) = 4,95€ – 5,50€ = -0,55€
Natürlich sind im Casino die Spiele nicht auf Tricks angewiesen. Beim Roulette entsteht der Bankvorteil beispielsweise durch die Null. Die Auszahlung bei Blackjack, Baccarat und anderen Tischspielen ist ähnlich strukturiert.
Gleiches gilt für Sportwetten. Die Buchmacher setzen die Quoten so fest, dass sie langfristig gewinnen. Allerdings werden die Quoten dem Wettmarkt angepasst, sodass es zu Value Bets kommen kann.
Poker ist ein Sonderfall, da es kein reines Glücksspiel ist. Zwar ist die Verteilung der Karten zufällig, doch ein guter Spieler kann langfristig gewinnen. Zumindest, wenn seine Gegner schlechter sind wie er selbst.
Was ist eine Auszahlungsquote?
Sehr eng mit dem Erwartungswert verbunden ist die Ausschüttung. Während der EW in Einheiten angegeben wird – in unseren Beispielen in Euro – ist die Auszahlungsquote eine Prozentangabe.
Der negative EW im obigen Beispiel mit dem Münzwurf im Casino lag bei -0,55€. Dies bedeutet, dass bei einem Einsatz von 10€ ein durchschnittlicher Verlust von 55 Cent entsteht. Die durchschnittliche Auszahlung liegt also bei 9,45€.
Dieses Spiel hat somit eine Auszahlungsquote von 94,5 %.
Hinweis: Ausschüttungsquote + Hausvorteil = 100 %